Les problèmes (1.33) et (1.34) proposent de calculer l’aire d’un champ en forme de calotte sphérique. Le premier énoncé est le suivant :
SUPPOSONS QU’ON AIT UN CHAMP EN FORME DE CALOTTE SPHÉRIQUE DONT LA CIRCONFÉRENCE INFÉRIEURE VAUT 30 BU, ET LE DIAMÈTRE TRANSVERSE 16 BU. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CHAMP.
Ici, la ‘circonférence inférieure’ désigne la périmètre C du bord circulaire de la calotte sphérique. Le ‘diamètre transverse’ D est une notion plus ambiguë ; il s’agit de la longueur de tout arc reliant deux points du bord diamétralement opposés en passant par le ‘sommet’ de la calotte sphérique – comme l’arc bleu dans la figure ci-dessus.
La procédure donnée par le Classique est la suivante :
ON MULTIPLIE LA CIRCONFÉRENCE PAR LE DIAMÈTRE ET ON DIVISE PAR 4.
Cet énoncé est en tout point similaire à la seconde procédure du cercle : ceci explique peut-être le vocabulaire employé ici, la calotte sphérique pouvant être perçue comme un disque ‘déformé’, un disque ‘bombé’.
Liu Hui entame son commentaire par le constat que cette formule n’est pas valide : Cette procédure ne se vérifie pas.
Avant de se pencher sur son argument, qui s’avère difficile, commençons par rejoindre son constat, avec un simple contre-exemple. Considérons le cas d’une demi-sphère de rayon R : nous savons que son aire est de 2\pi R^2. Or, la circonférence inférieure est un équateur de la sphère, et mesure donc 2\pi R, tandis que le ‘diamètre transverse’ est un demi équateur et mesure \pi R : la formule du Classique nous donne alors \pi^2R^2/2.
Ce contre-exemple est néanmoins ‘extrême’, dans le sens où la différence est moindre pour une calotte de faible hauteur, moins ‘bombée’.
La stratégie de Liu Hui pour invalider la procédure est toute autre. Il propose une autre surface, dont l’aire est bien donnée par la formule du Classique, mais qui ne peut pas être de même aire que la calotte sphérique, car strictement inférieure. On retrouve ici un principe qui sera repris de façon cruciale par Liu Hui au chapitre 4 pour invalider le rapport entre les volumes du cylindre et de la sphère inscrite, en ayant recours au solide appelé dais carré.
Ici, Liu Hui considère un cône à base circulaire, dont la base est la circonférence inférieure de la calotte. Il ne précise pas explicitement la position relative de ce cône et de la calotte, mais d’après les commentaires de Shuchun Guo du chapitre 1 des Neufs Chapitres (Ed. Dunod), il faudrait comprendre ici que Liu Hui fait implicitement référence à la figure suivante :
Afin d’établir l’aire apparente de ce cône, autrement dit l’aire de la surface de révolution engendrée par une génératrice du cône, son commentaire débute avec un autre solide :
Liu Hui considère une pyramide à base carrée ; sa base à un côté de 6 chi, et sa hauteur vaut 4 chi. Le cône considéré par Liu Hui a la même hauteur, et sa base est le cercle inscrit dans la base de la pyramide. Notons que cette base a donc un diamètre de 6 chi, ce qui donne (avec l’approximation \pi≈3 ) une circonférence de 18 chi : cette circonférence n’apparaît ni dans le problème (1.33), ni dans le (1.34). En effet, ce choix de données numériques semble motivé par le fait que triangle rectangle illustré ci-dessus, et qui donne la longueur de la génératrice du cône, a pour dimension le triplet (3,4,5). C’est d’ailleurs par ce calcul de génératrice que Liu Hui démarre son argument, invoquant pour cela la procédure du Gougu du chapitre 9. Liu Hui en déduit que l’aire apparente de la pyramide à base carrée est de 4 x ( 6 x 5 ) / 2 = 60.
Mais Liu Hui a plus généralement montré, à travers cet exemple, que cette aire (l’aire apparente, celle des quatre faces latérales) est donnée par la formule :
(1)….Aire (pyramide) = 4 x génératrice x (côté de la base)/2,
et il fera plus tard implicitement usage de cette formule.
Puis, considérant à présent le cône inscrit dans la pyramide, Liu Hui écrit : les lü de l’aire apparente du cône à base circulaire et de l’aire apparente du cône à base carrée sont comme l’aire du carré est à l’aire du cercle.
C’est un premier passage difficile de ce commentaire.
D’une part, on note l’inversement des mots cercle et carré dans la deuxième partie de la phrase : il aurait semblé plus juste d’écrire que “les lü de l’aire apparente du cône à base circulaire et de l’aire apparente du cône à base carrée sont comme l’aire du cercle est à l’aire du carré“.
D’autre part, Liu Hui semble faire ici référence à un commentaire donné au chapitre 4 au sujet de l’extraction de la racine sphérique : la surface du cercle occupe 3/4 de la surface du carré, et par suite, le cylindre circulaire occupe également les 3/4 du cube. Or, le lien entre le rapport d’aires des surfaces apparentes et celui des bases, parait peu immédiat. A la lecture du chapitre 4, on peut en fait supposer que, pour Liu Hui, le rapport de 3/4 entre les aires apparentes du cône et de la pyramide, est en fait une conséquence du rapport de 3/4 entre les circonférences d’un cercle inscrit dans un carré, pour toute section de ces deux surfaces par un plan parallèle à leurs bases. C’est là une application de ce l’on appelle le principe des indivisibles de Cavalieri, que le commentateur met en œuvre dans son calcul du rapport des volumes du dais carré et de la sphère dans le commentaire du chapitre 4 évoqué plus haut.
Quoi qu’il en soit, Liu Hui obtient ainsi la formule pour l’aire apparente du cône à base circulaire : on réduit de moitié le diamètre pour le multiplier par la moitié de la circonférence inférieure. Ici, les termes sont exactement ceux de la procédure; en particulier, Liu Hui désigne ici par le terme ‘diamètre’, le diamètre transverse du cône, qui est donné par deux génératrices diamétralement opposées. En effet, prendre le rapport 3/4 dans la formule (1), nous donne bien la formule proposée par Liu Hui :
(2)….Aire (cône) = génératrice x (circonférence inférieure) / 2
……… ……. = (diamètre transverse / 2) x (circonférence inférieure / 2).
Liu Hui semble conclure à une contradiction : comme l’illustre la Figure 1 ci-dessus (elle-même implicite dans le commentaire de Liu Hui), l’aire du cône est clairement inférieure à celle de la calotte sphérique, et ne peut donc être donnée par la “même” formule. Mais le “diamètre transverse” de la formule (2), est manifestement inférieur à celui de la calotte, ce qui semble rendre cet argument invalide. Liu Hui semble baser sa conclusion sur l’idée que les natures fondamentalement différentes du cône et de la calotte, excluent le fait que leurs aires soient données par la “même” formule.
Liu Hui conclût en s’avouant incapable de proposer une formule exacte, considérant que celle du Classique est une approximation convenable : Cependant cette procédure est difficile à traiter ; c’est pourquoi on en a donné, de manière sommaire, les grandes lignes, que l’on peut appliquer aux grands champs.
Comme le note Shuchun Guo, les ouvrages ultérieurs ont d’ailleurs repris la formule erronée du Classique, n’apportant donc que peu de crédit au commentaire – difficile, on l’a vu – de Liu Hui sur ce point.
OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
Groupe Histoire IREM Grenoble (31 mai 2024). Aire d’une calotte sphérique. Neuf Chapitres Trois Quarts. Consulté le 12 décembre 2024 à l’adresse https://doi.org/10.58079/11rrc