L’une des contributions majeures de Liu Hui dans ses commentaires aux Neuf Chapitres, est certainement son algorithme d’approximation de 𝜋 donnée au chapitre 1, dans un long ‘commentaire additionnel’ suite aux quatre procédures donnant l’aire du cercle. Le principe général de cet algorithme, est déjà présenté dans cet article : nous nous proposons ici d’explorer un peu plus en détails le commentaire de Liu Hui.

Rappelons que, à l’image d‘Archimède 500 ans avant lui, Liu Hui considère les (3\times 2^n)-gones réguliers H_n inscrit dans le cercle (n\ge 1) : l’hexagone inscrit H_1, puis le dodécagone H_2, le 24-gone H_3, etc.

Le commentaire débute ainsi : Faisons une figure. Si l’on multiplie par un côté de l’hexagone le demi-diamètre du cercle correspondant au segment circulaire, et que l’on multiplie ceci par 3, on obtient l’aire du dodécagone.
Partant de l’hexagone inscrit, Liu Hui utilise ici le fait que l’aire de la surface jaune représentée à gauche ci-dessous, est donné par ( côté de l’hexagone x demi-diamètre ), formule illustrée par la figure de droite selon le principe du ce qui rentre et ce qui sort se compensent déjà amplement utilisé dans ce chapitre. Ceci permet donc d’exprimer l’aire du dodécagone inscrit en fonction du côté de l’hexagone.

Puis Liu Hui observe le caractère itératif de cette formule : Si, à nouveau, on coupe celui-ci [le dodécagone], puis que l’on multiplie par un côté du dodécagone le demi-diamètre pour un segment circulaire, et qu’on multiplie ceci par 6, alors on obtient l’aire du 24-gone.
En effet, l’aire jaune à gauche ci-dessus, est donnée par ( côté du dodécagone x demi-diamètre ), et on en déduit l’aire du 24-gone inscrit en fonction du côté du dodécagone.

Dans ces premières lignes, Liu Hui montre comment l’aire du polygone H_{n+1} s’exprime en fonction du rayon, et du côté de H_{n} : en général, on a en effet la formule H_{n+1} = n/2 * R *c_n.
Liu Hui a donc ramené le problème de calcul d’aire, posé par le Classique, à un calcul de longueur : il lui suffit maintenant de calculer les côtés c_n des polygones inscrits successifs H_n.

Il va pour cela avoir recours à des valeurs explicites, en considérant un cercle de 1 chi de rayon. Liu Hui justifie ce choix : Un examen respectueux de la figure à l’appui, j’ai élaboré de nouveaux lü plus précis. Mais je craignais que si cette méthode était exposée abstraitement, les quantités n’en soient obscures et difficiles à saisir. C’est pourquoi je l’ai mise sous une forme réglée et j’ai respectueusement rédigé ici, de manière détaillée, un commentaire à son sujet.

Pour cela, Liu Hui fait une double utilisation de la procédure du Gougu, l’égalité de Pythagore traitée au chapitre 9.
Plus précisément, dans le triangle AHO, rectangle en H, on a OA=R et AH=\frac{c_n}{2}, d’où OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{R^2 - \frac{c_n^2}{4}}.
Puis, dans le triangle AHM, rectangle en H, on a MH=R-OH (que Liu Hui appelle la petite hauteur) et AM=c_{n+1} (la petite hypoténuse), donc c_{n+1} = \sqrt{ MH^2 + AH^2}, ce qui donne la formule récursive :

c_{n+1} = \sqrt{ \left(R - \sqrt{R^2 - \frac{c_n^2}{4}}\right)^2 + \frac{c_n^2}{4} }.

Liu Hui procède ainsi, par des calculs explicites et méticuleux, jusqu’au côté du 96-gone, dont il donne l’approximation : 6 fen 5 li 4 hao 3 miao 8 hu, et on abandonne les parts restantes (cet article pourra être utile pour se retrouver dans les unités de longueur et d’aire). Selon le principe donné au début du commentaire, vu plus haut, il en déduit l’aire du 192-gone, qu’il estime ainsi à 314 cun 64/625 de cun.
Il avait, à l’étape précédente, déterminé de la même manière l’aire du 96-gone : 313 cun 584/625 de cun. Cette quantité donne non seulement un minorant pour l’aire du disque, mais sert aussi à Liu Hui à majorer cette dernière :

L’aire du 96-gone étant soustraite de ceci [l’aire du 192-gone], il reste 105/625 de cun, que l’on appelle l’aire de la différence. On la double, ce qui fait 210 de ces parts de cun, et ce qui donne des champs polygonaux extérieurs au 96-gone au nombre de 96, c’est-à-dire l’aire globale de la multiplication des flèches par les cordes. Si l’on ajoute cette aire à l’aire du 96-gone, on obtient 314 cun 169/625 de côté, qui déborde alors à l’extérieur du cercle.

Par conséquent, on est ramené à la partie entière de l’aire du 192-gone, 314 cun, que l’on prend donc pour lü déterminé de l’aire du cercle, en abandonnant les parts restantes.

Le commentaire se prolonge encore assez longuement. Liu Hui cherche à déterminer de façon plus précise la valeur de ce lü que nous appelons 𝜋. L’encadrement de 𝜋 est obtenu à partir de l’encadrement de l’aire du cercle. Lui Hui prend la partie entière de cet encadrement, la divise par le rayon et la multiplie par 2 : il fait appel ici à la  première procédure pour l’aire du cercle. Le lü du cercle, 𝜋, est alors réalisé comme le rapport entre diamètre et circonférence. Il est ainsi amené à l’approximation 𝜋 ≈ 157/50 = 3,14 puis, poussant davantage encore le calcul, 𝜋 ≈ 3927/1250 = 3,1416.

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