La résolution d’équations quadratiques jalonne l’histoire des mathématiques depuis ses origines. Les problèmes d’arpentage et de partage ont naturellement conduit les premières civilisations maîtrisant l’écriture et les mathématiques à ce type de problèmes. On trouve ainsi des tablettes mésopotamiennes datant du début du deuxième millénaire avant notre ère, développant une procédure de résolution des équations du second degré.
De façon un peu paradoxale au vu de la richesse et la profondeur des savoirs mathématiques mis en jeu dans les Neufs Chapitres, le thème des équations quadratiques n’est pas directement abordé dans le Classique. Et ce n’est qu’au détour d’un commentaire de Liu Hui sur un problème de visée du chapitre 9, que ce thème est effleuré.
Cet article tente de résumer ce que nous pouvons apprendre de ces quelques lignes du commentateur, sur ce que pouvait être une perception des équations de degré 2 et leur résolution en Chine antique.
Le problème en question est le (9.19) dont voici l’énoncé.
SUPPOSONS QU’ON AIT UNE VILLE CARRÉE DONT ON NE CONNAÎT PAS LA LONGUEUR DU CÔTÉ ET AU CENTRE DE CHAQUE CÔTÉ DE LAQUELLE S’OUVRE UNE PORTE. A 20 BU A L’EXTÉRIEUR DE LA PORTE NORD, IL Y A UN ARBRE, ET SI, APRÈS AVOIR FAIT 14 BU A L’EXTÉRIEUR DE LA PORTE SUD, ON TOURNE ET QU’ON MARCHE 1 775 BU VERS L’OUEST, ON VOIT CET ARBRE. ON DEMANDE COMBIEN FAIT LE CÔTÉ DE LA VILLE CARRÉE.
La situation peut donc être résumée dans la figure suivante :
Liu Hui débute son commentaire en faisant appel aux similitudes des triangles. Il explique en essence que les dimensions des triangles bleus et rouges dans la figure ci-dessus sont proportionnelles, ce qui donne l’égalité de rapports 20/(x/2) = (20+x+14)/1775, où x désigne le côté de la ville. Il s’agit donc ici de résoudre l’équation x2 + 34x = 71000.
Le terme constant de cette équation, 71000, correspond au double du produit de ce qu’on a à l’extérieur de la porte Nord, 20 bu, par la distance parcourue vers l’Ouest, 1775 bu. C’est la quantité que le Classique prescrit de prendre comme “dividende” dans sa procédure :
ON MULTIPLIE, PAR LA QUANTITÉ DE BU A L’EXTÉRIEUR DE LA PORTE NORD, LA QUANTITÉ DE BU MARCHÉS VERS L’OUEST, ET ON DOUBLE CECI, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE.
ON SOMME LES QUANTITÉS DE BU A L’EXTÉRIEUR DE LA PORTE SUD ET DE LA PORTE NORD, CE QUI FAIT LE DIVISEUR REJOINT.
ET ON DIVISE PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE, CE QUI DONNE LE CÔTÉ DE LA VILLE CARRÉE.
Il apparaît donc que la résolution d’équation quadratique, plutôt qu’un procédé algébrique à part entière, est ici assimilée à l’opération arithmétique d’extraction de la racine carrée ! Liu Hui commente la procédure par ces quelques lignes :
L’aire de cette procédure, c’est l’aire qui, d’Est en Ouest, est comme le côté de la ville carrée, et, du Nord au Sud, va de l’arbre jusqu’au bout des 14 bu au sud de la ville. Chacune des quantités de bu au Nord et au Sud font une largeur, le côté de la ville carrée fait la longueur, c’est pourquoi on joint les deux largeurs pour constituer le diviseur rejoint, la somme de leurs aires est prise pour l’aire à l’extérieur du coin.
Reprenons pas à pas ce commentaire.
La première phrase identifie l‘aire de cette procédure : il s’agit d’un rectangle de largeur x, le côté de la ville, et de longueur 20 + x + 14 = x + 34. L’aire de ce rectangle, représenté à gauche dans la figure ci-dessous, vaut donc 71000.
Liu Hui poursuit en disant que l’on joint les deux largeurs : il s’agit ici de re-décomposer l’aire de la procédure (le rectangle de gauche) en un carré de côté x et un rectangle de dimensions 34 par x, comme indiqué en bleu au milieu de la figure.
C’est ce dernier rectangle que Liu Hui désigne par le terme d’aire à l’extérieur du coin. Il s’agit là d’une référence implicite mais cruciale à son commentaire sur la procédure d’extraction de la racine carrée au chapitre 4.
Le commentateur nous invite ici à considérer la figure à droite ci-dessus, obtenue en scindant le rectangle bleu en deux pour former un carré de côté x + 17, dont un coin est manquant. L’aire de la procédure, qui vaut 71000, est donc donnée par (x + 17)2 – 172. Il suit que (x + 17)2 = 71000 + 172 = 71289. En prenant la racine carrée, on obtient x + 17 = 267, d’où la solution x = 250 bu.
Ainsi, comme le résume Karine Chemla dans son commentaire des Neuf Chapitres aux éditions Dunod, la figure de l’équation quadratique présente un carré qui est donc mis en relation avec le carré en coin de l’extraction de racine, et les rectangles excédentaires se correspondent de part et d’autre. Dans les deux cas, l’aire de l’ensemble étant connu, il s’agit de déterminer le côté du carré en coin.
Notons que l’on retrouve ce problème (9.19) dans de multiples activités pour la classe et ressources en ligne, comme support à divers travaux autour d’une équation de degré 2 : voir cette activité de Y. Monka, ou le manuel Odyssée 2de (Hatier, ed. 2009, p. 138).
OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
Groupe Histoire IREM Grenoble (10 juin 2023). Équations quadratiques. Neuf Chapitres Trois Quarts. Consulté le 12 décembre 2024 à l’adresse https://doi.org/10.58079/sbia
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