Après une première série de problèmes dédiée à la procédure du Gougu, le chapitre 9 aborde, dans une seconde série formée des problèmes (9.13) à (9.23), un autre aspect de la géométrie du triangle rectangle.
Le problème (9.17) en est un exemple typique :
SUPPOSONS QU’ON AIT UNE VILLE QUI, D’EST EN OUEST, FAIT 7 LI, DU NORD AU SUD, 9 LI, ET AU CENTRE DE CHAQUE CÔTÉ DE LAQUELLE S’OUVRE UNE PORTE. A 15 LI A L’EXTÉRIEUR DE LA PORTE EST, IL Y A UN ARBRE. ON DEMANDE A COMBIEN DE BU A L’EXTÉRIEUR DE LA PORTE SUD IL FAUT ALLER POUR VOIR L’ARBRE.
La figure ci-dessus schématise la situation : le lecteur contemporain aura sans doute le réflexe d’appliquer le théorème de Thalès dans le grand triangle rectangle (en pointillés), en observant que le mur sud de la ville décrit une parallèle à la hauteur de ce triangle.
La procédure du Classique n’est pas fondamentalement différente :
PROCÉDURE :
LA QUANTITÉ DE BU DE LA PORTE EST VERS LE SUD JUSQU’AU COIN MULTIPLIÉE PAR LA QUANTITÉ DE BU DE LA PORTE SUD VERS L’EST JUSQU’AU COIN FAIT LE DIVIDENDE. ON PREND LA QUANTITÉ DE BU DE LA DISTANCE DE L’ARBRE A LA PORTE COMME DIVISEUR. EFFECTUER LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR.
Mais, plutôt qu’une propriété de type Thalès, le Classique utilise plus généralement les relations de proportionnalité entre triangles semblables. Le commentaire de Liu Hui pose très clairement le principe général :
Ici on prend les 4 li et demi qui vont de la porte est vers le sud jusqu’au coin comme le lü de la base, les 15 li à l’extérieur de la porte est comme lü de la hauteur, les 3 li et demi qui vont de la porte sud vers l’est jusqu’au coin comme la hauteur réelle. Et la distance à l’extérieur de la porte sud qui est demandée donne la base correspondant à la hauteur réelle.
Il y a donc deux triangles impliqués dans la justification de Liu Hui : ce sont les deux triangles représentés ci-contre, semblables au grand triangle rectangle en pointillés .
Le triangle bleu est le “triangle réel”, le triangle impliquant la quantité recherchée (ici, la base) ; ses dimensions sont désignées par les termes de hauteur réelle (valant 3,5 li) et base (correspondant à la hauteur) réelle (la quantité recherchée, notée ici a). Le triangle rouge est le “triangle des lü” : c’est un triangle “de référence”, semblable au triangle réel mais dont on connait les dimensions, nommées lü de la hauteur et lü de la base et valant respectivement 15 et 4,5 li.
Il ne reste alors plus qu’à mettre en œuvre la procédure du supposons du chapitre 2, autrement dit à effectuer une règle de trois, pour connaitre la quantité recherchée. Ici :
quantité recherchée = base réelle = lü de la base x hauteur réelle / lü de la hauteur.
Le problème (9.13), ainsi que les problèmes (9.16) à (9.20), sont tous très comparables à celui-ci : ce sont des problèmes de marche et de visée impliquant une ville carrée ou rectangulaire à quatre portes.
Les trois problèmes suivants (9.21) à (9.23) sont trois problèmes de visée de nature différente, plus proche des problèmes d’optique et de mesure “appliqués”.
Prenons par exemple le problème (9.23) :
SUPPOSONS QU’ON AIT UN PUITS DE 5 CHI DE DIAMÈTRE, DONT ON NE CONNAÎT PAS LA PROFONDEUR, ET QU’ON ÉRIGE UN BÂTON DE 5 CHI AU-DESSUS DU BORD DU PUITS. SI L’ON VISE, A PARTIR DE L’EXTRÉMITÉ DU BÂTON, LE BORD DE L’EAU, IL PÉNÈTRE DE 4 CUN A L’INTÉRIEUR DU DIAMÈTRE.
ON DEMANDE COMBIEN VAUT LA PROFONDEUR DU PUITS.
La situation est schématisée dans la figure ci-contre, que l’on qualifierait aujourd’hui de “configuration de Thalès en papillon”. La procédure du Classique repose elle à nouveau sur la procédure du supposons, à partir de deux triangles rectangles semblables. On retrouve ainsi dans le commentaire de Liu Hui les mêmes termes-clés que précédemment, qui identifient ces deux triangles (représentés en bleu et rouge comme précédemment), et les dimensions impliquées dans la règle de trois :
Ici, on prend ce dont le bord de l’eau pénètre à l’intérieur du diamètre, 4 cun, comme lü de la base, le bâton érigé, 5 ch, comme lü de la hauteur, le reste du diamètre du puits, 4 chi 6 cun, comme la base réelle. La profondeur du puits qu’on demande, c’est la hauteur correspondant à la base réelle.
Liu Hui prolongera cette dernière série de problèmes de visée “appliqués” dans son manuel mathématique de l’île de la mer (Haidao suanjing). Comme évoqué dans cet article, cette collection de neuf problèmes était initialement destinée à former un appendice aux Neuf Chapitres, mais fut ensuite publiée indépendamment et appartient aux Dix Canons du Calcul compilés et commentés par Li Chunfeng en 648.
OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
Groupe Histoire IREM Grenoble (4 mars 2023). Similitudes des triangles rectangles. Neuf Chapitres Trois Quarts. Consulté le 12 décembre 2024 à l’adresse https://doi.org/10.58079/sbi4
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