Dans cet article, nous parlions du problème (9.14), portant sur un carré inscrit dans un triangle rectangle. Le problème (9.15) est tout à fait similaire, cette fois pour un cercle inscrit :

La procédure explique que le diamètre est donné par la formule 2ab / (a + b + c), où a, b et c désignent respectivement la base, hauteur et hypoténuse du triangle rectangle.

Comme pour le problème (9.14), la première justification de Liu Hui est purement géométrique.
Il considère le rectangle de dimensions (a,b), qu’il décompose en surfaces vermillons, bleu-vertes et jaunes. Liu Hui ne détaille pas davantage cette décomposition, mais il apparaît, à la lecture de l’ensemble du commentaire, qu’il s’agit vraisemblablement de celle-ci, où l’on note R le rayon du cercle inscrit :

On prend alors deux copies de ce rectangle : en le doublant, cela fait donc 4 exemplaires de chaque surface. Le commentaire donne alors des informations concrètes sur la manipulation à effectuer sur cette figure : Si l’on peut dessiner ceci sur un petit papier, découper à partir des points de rencontre des lignes droites horizontales et verticales et des obliques, faire que les morceaux inverses se complètent l’un l’autre, de manière à ce qu’ils soient tous réunis en fonction de leur catégorie, cela engendre la surface d’un rectangle.
Le fait de faire que les morceaux inverses se complètent l’un l’autre, suggère de découper chaque quadrilatère ‘cerf-volant’ vermillon ou bleu-vert le long des pointillés dans la figure. Chaque cerf-volant produit ainsi deux triangles isométriques, que l’on réagence en un rectangle. Les deux copies du rectangle initial, de dimensions (a,b), produisent alors le rectangle.

Par égalité d’aires, on obtient que 2ab = 2R(a + b + c), et donc la formule de la procédure.

Liu Hui donne ensuite une seconde démonstration, reposant cette fois sur les similitudes.
Pour cela il considère, dans la figure initiale, le petit carré de côté R qui délimitait la surface jaune dans la première justification, et la droite parallèle à l’hypoténuse passant par le centre du cercle. Ceci introduit deux petits triangles rectangles semblables au triangle initial, représentés en bleu et rouge dans la figure de gauche ci-dessous :

En notant respectivement a, b, c et a, b, c les bases, hauteurs et hypoténuses de ces triangles, on observe que a = b = R, le rayon du cercle inscrit.
Par ailleurs, on a les égalités a + b + c = b et a + b + c = a. Liu Hui ne semble pas justifier explicitement ces deux égalités, bien que son raisonnement les utilise. On peut par exemple justifier la première égalité ainsi :
1. considérons le triangle rectangle en pointillés rouge dans la figure de droite ;
2. ce triangle est isométrique au triangle rouge de la figure de gauche (cas d’égalité des triangles avec trois angles et un côté égaux) ;
3. ainsi les deux longueurs notées c dans les figures ci-dessus sont bien égales.
L’égalité a + b + c = a peut être traitée de la même manière.
Liu Hui prescrit alors de prendre a, b et c comme rangée des coefficients de la pondération en fonction des degrés du chapitre 3. Cette dernière consiste essentiellement à appliquer la procédure du supposons (règle de trois) à un ensemble de quantités, en l’occurrence ici les dimensions du triangle.
On obtient ainsi les deux rapports
000a / (a + b + c) = a / (a + b + c) = a / b 000 et 000 b / (a + b + c) = b / (a + b + c) = b / a,
d’où la formule ab / (a + b + c) pour le rayon du cercle (on rappelle que a = b = R).

Pour conclure, notons que la formule du cercle inscrit peut aussi se déduire simplement de celle du carré inscrit, établie au problème (9.14).
On considère pour cela, en plus des triangles bleu et rouge déjà utilisés précédemment, le triangle vert de la figure ci-dessous, dont on note les dimension a, b, c.

La formule du problème (9.15) peut alors s’obtenir comme suit :
1. le triangle vert reproduit exactement la figure du problème (9.14), le rayon R du cercle inscrit dans le grand triangle coïncidant avec le coté du carré inscrit dans le triangle vert. La procédure du problème (9.14) nous donne alors que R = ab / (a + b) ;
2. le triangle vert est isométrique au grand triangle, donc on a b / (a + b) = b / (a + b), et donc R = ab / (a + b) ;
3. on a les égalités a = a + a, b = b + b et c = c + c. Mais, comme déjà observé plus haut, on sait que a = a + b + c et b = a + b + c, donc a + b = a + b + c. On obtient R = ab / (a + b + c) ;
4. à nouveau parce que le triangle vert est isométrique au grand triangle, on a l’égalité a/(a + b + c) = a/(a + b + c), ce qui donne la formule recherchée : R = ab / (a + b + c).

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