Les problèmes (9.14) et (9.15) appartiennent à la seconde moitié du chapitre 9, au sens rapporté dans cet article : leur résolution utilise en effet les similitudes des triangles rectangles et à la procédure du supposons. Ces deux problèmes sont néanmoins singuliers, car de nature purement géométrique au sein d’un ensemble de situation autrement liées à des problèmes pratiques de visée. Cette singularité se manifeste également dans les commentaires de Liu Hui.
Le problème (9.14) s’intéresse à un carré inscrit dans un triangle rectangle, et fait l’objet de cet article (le problème (9.15), consacré au cercle inscrit, est présenté dans cet article) :
SUPPOSONS QUE LA BASE VAILLE 5 BU ET LA HAUTEUR 12 BU. ON DEMANDE COMBIEN VAUT LE CÔTÉ DU CARRÉ INSCRIT À L’INTÉRIEUR DE LA BASE
PROCÉDURE :
ON SOMME LA BASE ET LA HAUTEUR, CE QUI FAIT LE DIVISEUR. BASE ET HAUTEUR SONT MULTIPLIÉES L’UNE PAR L’AUTRE, CE QUI FAIT LE DIVIDENDE. ET EN EFFECTUANT LA DIVISION DU DIVIDENDE PAR LE DIVISEUR, ON OBTIENT LE CÔTÉ DU CARRÉ EN BU.
Ainsi, avec les notations de la figure ci-dessus, la procédure énonce : L = ab / (a + b).
Liu Hui propose deux types justifications.
La première est propre à la nature très géométrique du problème, et est réminiscente du chapitre 1 : Quand base et hauteur sont multipliées l’une par l’autre, cela fait des surfaces vermillon, bleu-vert et jaunes, chacune en 2 exemplaires.
La figure à laquelle Liu Hui fait référence est vraisemblablement la suivante :
L’idée est alors de réagencer ces pièces en un rectangle selon le principe de « ce qui sort et ce qui entre se compensent » : Si l’on fait en sorte que les longueurs des surfaces jaunes forment la longueur aux extrémités, que celles qui sont vermillon et bleu-vert, chacune selon les catégories qui leur correspondent, se conforment aux deux transverses qui leur correspondent, en tout, cela engendre la surface d’un rectangle.
Ce rectangle a pour largeur L (le côté du carré recherché) et pour longueur a + b, ce qui prouve la relation ab = L(a + b).
La seconde justification de Liu Hui repose sur les similitudes des triangles rectangles, stratégie commune à ce second groupe de problèmes (voir cet article).
Liu Hui observe que les deux petits triangles, complémentaires du carré inscrit dans le triangle initial, repérés en rouge et bleu dans la figure ci-contre, sont semblables à ce dernier.
Il désigne par lü du côté du carré inscrit, la longueur de la lignée brisée rouge dans la figure. Il la met en relation avec la longueur de la ligne brisée correspondante dans le triangle initial, qui vaut a + b.
Par principe de similitude, il établit que le rapport de ces deux quantités, est égal au rapport de la base du triangle rouge par la base a du triangle initial.
Or le lü du côté du carré inscrit est égal à b, et la base du triangle rouge a pour longueur L, le côté du carré inscrit.
Liu Hui établit donc la relation b / (a + b) = L / a.
La formule du Classique en découle immédiatement.
Le commentateur note par ailleurs que l’on peut appliquer le même raisonnement avec la ligne brisée bleue de la figure. Ceci donne la formule a / (a + b) = L / b, et donc une autre preuve de la procédure.
OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
Groupe Histoire IREM Grenoble (17 mars 2023). Carré inscrit dans un triangle rectangle. Neuf Chapitres Trois Quarts. Consulté le 12 décembre 2024 à l’adresse https://doi.org/10.58079/sbi5
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