Le chapitre 9 propose une série de problèmes d’application de la procédure du Gougu, l’identité de Pythagore, pour lesquels Liu Hui justifie les procédures en s’appuyant sur deux “figures fondamentales”. La première figure fondamentale fait l’objet de cet article, et nous présentons ici les divers usages que Liu Hui fait de la seconde figure fondamentale.
Dans la suite, nous donnerons souvent une interprétation algébrique en première approche des résolutions de problèmes, avant de tenter de cerner l’approche géométrique qu’en donne le commentateur ; pour cela, nous utiliserons respectivement les lettres a, b et c pour désigner la base, la hauteur et l’hypoténuse du triangle rectangle considéré.
Le problème (9.6) voit l’entrée en scène de la seconde figure fondamentale du Gougu :
SUPPOSONS QUE L’ON AIT UN ÉTANG CARRÉ DE 1 ZHANG DE CÔTÉ, AU CENTRE DUQUEL POUSSE UN ROSEAU QUI DÉPASSE DE 1 CHI LE NIVEAU DE L’EAU. QUAND ON TIRE LE ROSEAU VERS LA RIVE, IL ARRIVE JUSTE AU BORD. ON DEMANDE COMBIEN VALENT RESPECTIVEMENT LA PROFONDEUR DE L’EAU ET LA LONGUEUR DU ROSEAU.
Ce problème appelle la figure ci-contre, où la base a correspond à la moitié du côté de l’étang (un demi zhang, soit 5 chi), la hauteur b est la profondeur de l’étang, et l’hypoténuse c, la longueur du roseau.
Le Classique énonce ensuite la procédure suivante :
LA MOITIÉ DU CÔTÉ DE L’ÉTANG CARRÉ ÉTANT MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME, ON EN SOUSTRAIT CE QUI DÉPASSE DE L’EAU, 1 CHI, MULTIPLIÉ PAR LUI-MÊME. ON DIVISE LE RESTE PAR LE DOUBLE DE CE QUI DÉPASSE DE L’EAU, CE QUI DONNE COMME RÉSULTAT LA PROFONDEUR DE L’EAU.
Autrement dit, la procédure nous indique que la profondeur de l’eau est donnée par :
espaceesabcdefghpaceespProfondeur = b = \dfrac{a^2-(c-b)^2}{2(c-b)}.
Bien sûr, il suffit ensuite d’ajouter « ce qui dépasse », autrement dit c – b, pour obtenir la longueur c du roseau : c’est ce qu’explique Li Chunfeng, après deux chapitres de silence complet, dans ce qui sera l’un de ses seuls commentaires pour l’ensemble du chapitre 9…
Mais comment justifier cette formule pour b ?
Liu Hui nous invite à considérer une figure : A l’aide de la base et de l’hypoténuse, on fait apparaître la hauteur, par conséquent, en effectuant la multiplication de la base par elle-même, on fait d’abord apparaître l’aire du gnomon.
La figure à laquelle ce commentaire fait allusion est la suivante. En prenant un carré de côté c, et en plaçant, dans le coin inférieur gauche, un carré de côté b, on fait apparaître une région complémentaire, désignée par Liu Hui par le terme de gnomon, de forme coudée et dont les dimensions sont c et c – b.
L’aire de ce gnomon vaut naturellement c2 – b2, donc a2 puisque a, b et c sont les dimensions d’un triangle rectangle !
Maintenant, si l’on considère le “coin” du gnomon, il s’agit d’un carré de côté c – b, représenté en jaune ci-dessus. Ainsi, l’aire du gnomon privé de ce carré jaune vaut a2 – (c – b)2 ; mais cette surface, représentée en bleu-vert ci-dessus, peut par ailleurs être vue comme deux copies du rectangle de largeur c – b et de longueur b. On a ainsi établi géométriquement la formule a2 – (c – b)2 = 2b(c – b), qui justifie la procédure du Classique.
Cette figure, appelée « seconde figure figure fondamentale » du Gougu, est utilisée de diverses manières au fil du chapitre, suivant les données fournies dans les problèmes. Les problèmes (9.7) à (9.10) sont essentiellement équivalents de ce point de vue. L’énoncé du (9.7) est le suivant :
SUPPOSONS QU’ON ÉRIGE UN BÂTON A L’EXTRÉMITÉ DUQUEL ON ATTACHE UNE CORDE DE LAQUELLE 3 CHI TRAÎNENT SUR LE SOL. SI ON RECULE EN TIRANT LA CORDE, A UNE DISTANCE DE 8 CHI DE LA BASE DU BÂTON, ON ARRIVE AU BOUT DE LA CORDE. ON DEMANDE COMBIEN VAUT LA LONGUEUR DE LA CORDE.
Ici, la longueur du bâton et de la corde sont respectivement la hauteur b et l’hypoténuse c d’un triangle rectangle, dont la base a est la distance au sol nécessaire pour tendre la corde. On dispose donc comme dans le problème précédent, des valeurs de la base a = 8 et de la différence entre l’hypoténuse et la hauteur, c – b = 3. Mais la procédure proposée par le Classique est néanmoins différente ; puisque l’on recherche ici la seule valeur de l’hypoténuse, le Classique nous indique en effet que celle-ci est donnée par :
espaceesabcdefghpaceespc= \dfrac{\frac{a^2}{c-b} + c-b}{2}.
A nouveau, il n’est pas difficile de valider cette formule algébriquement, mais la justification géométrique de Liu Hui est plus intéressante : Si « on multiplie la distance à la base par elle-même », c’est qu’on veut d’abord développer l’aire du gnomon. Ce qui traîne sur le sol, c’est la différence entre hauteur et hypoténuse. Si on en divise l’aire du gnomon, cela donne la somme de cette hauteur et de cette hypoténuse.
Autrement dit, en reprenant la seconde figure fondamentale, on s’appuie à nouveau sur le fait que le gnomon, complémentaire du carré de côté b dans celui de côté c, a une aire de a2. Or, ce gnomon peut être décomposé en deux rectangles, de largeur c – b et de longueur respective c et b :
Ceci permet d’établir la formule a2 = (c + b)(c – b), qui justifie la procédure du problème (9.7).
La dernière utilisation de cette seconde figure fondamentale est rencontrée au problème (9.24) :
SUPPOSONS QU’ON AIT UNE PORTE DONT ON NE CONNAÎT NI LA HAUTEUR NI LA LARGEUR, ET UNE PERCHE DONT ON NE CONNAÎT PAS LA LONGUEUR. TRANSVERSALEMENT, IL S’EN FAUT DE 4 CHI POUR QUE LA PERCHE NE PUISSE SORTIR (PAR LA PORTE), LONGITUDINALEMENT IL S’EN FAUT DE 2 CHI, ET, EN OBLIQUE, ELLE SORT JUSTE. ON DEMANDE COMBIEN VALENT RESPECTIVEMENT LA HAUTEUR, LA LARGEUR ET L’OBLIQUE DE LA PORTE.
Ici a et b désignent les dimension de la porte et c est sa diagonale, qui est aussi la longueur de la perche. On dispose cette fois des différences c – a = 4 et c – b = 2 pour trouver les dimensions a, b et c du triangle rectangle.
La version de la seconde figure fondamentale invoquée ici par Liu Hui est la suivante, où les carrés de côtés a et b sont présentés tête-bêche dans le grand carré de côté c :
Dans cette figure, la quantité a2 peut donc être visualisée de deux façons :
– soit comme l’aire du carré de côté a,
– soit comme l’aire du gnomon (complémentaire du carré de côté b).
Elles sont représentées en bleu ci-dessous :
Or ces deux surfaces bleues ont une partie en commun. Si on retranche de l’une et de l’autre l’intersection du gnomon et du carré de côté a, on a donc encore deux surfaces de même aire, représentées ci-dessous :
La surface de gauche est un carré de côté a + b – c, tandis que celle de droite est formée de deux copies du rectangle de largeur c – b et longueur c – a. On a donc établi ainsi la formule a+b-c = \sqrt{2(c-a)(c-b)}.
Puisque l’on dispose des valeurs de c – a et c – b, on en déduit alors facilement les valeurs de a, b et c demandées dans le problème.
Comme l’illustrent ces quelques exemples, Liu Hui utilise donc la seconde figure fondamentale du Gougu de façon très variée au cours du chapitre 9. Au total, ce sont sept problèmes qui sont traités de cette manière : les problèmes (9.6) à (9.10), le (9.12), ainsi que le dernier problème (9.24). De fait, la position de ce problème (9.24) au sein du chapitre est sujette à débats, et on le trouve dans certaines éditions à la suite des problèmes évoqués plus haut, relevant de la même seconde figure fondamentale.
OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
Groupe Histoire IREM Grenoble (27 avril 2023). La seconde figure fondamentale du Gougu. Neuf Chapitres Trois Quarts. Consulté le 12 décembre 2024 à l’adresse https://doi.org/10.58079/sbi7
Une réflexion sur « La seconde figure fondamentale du Gougu »