La procédure du Gougu est donnée dès la première page du chapitre 9, suite à trois problèmes introductifs élémentaires. Elle énonce la propriété que nous connaissons sous le nom d’identité de Pythagore :

BASE (GOU) ET HAUTEUR (GU) ÉTANT CHACUNE MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME, ON SOMME LES RÉSULTATS ET ON DIVISE CECI PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE, CE QUI DONNE L’HYPOTÉNUSE.

Nous sommes donc ici en présence d’un rectangle, dont base et hauteur sont respectivement désignées par les termes Gou et Gu, et donc la diagonale est nommée hypoténuse.
Cette procédure est complétée par deux paragraphes, exprimant respectivement la base et la hauteur en fonction des deux autres quantité. Elle ne manque pas d’être commentée par Liu Hui. Pourtant son éclairage est, dans un premier temps du moins, succinct et sujet à interprétation :

La base multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur multipliée par elle-même un carré bleu-vert, et l’on fait en sorte que ce qui sort et ce qui entre se compensent l’un l’autre, que chacun se conforme à sa catégorie ; alors, sur la base du fait que l’on garde ceux (les parties, les morceaux) qui restent sans les bouger, on engendre par réunion l’aire du carré de côté l’hypoténuse.

On retrouve ici le principe « ce qui sort et ce qui entre se compensent », déjà central dans les chapitres 1 et 5, qui consiste à découper et réagencer des formes géométriques de telle sorte que l’aire (ou le volume) soit préservée. Liu Hui ne donne cependant ici que très peu d’indices sur la figure à laquelle appliquer ce principe. Les commentaires de Karine Chemla sur le chapitre 9 (éditions Dunod), proposent un long développement sur ces quelques lignes de Liu Hui, qui conduisent à l’interprétation suivante :

Cette reconstitution de la figure à la base de la procédure du Gougu fut proposée indépendamment par d’autres spécialistes, en se fondant sur divers arguments. Le principe central de cette reconstitution est que le commentaire de Liu Hui a pour trame la première figure fondamentale du Gougu, que l’on retrouve dans le Zhoubi Suanjing, le Classique mathématique du Gnomon des Zhou, sous le nom figure de l’hypoténuse :

Cet ouvrage est l’autre grand classique mathématique datant de la dynastie Han, et a fait l’objet au IIIe siècle d’importants commentaires par Zhao Shuang, contenant notamment la figure ci-dessus. Il s’ouvre sur la procédure du Gougu, dans un énoncé très similaire à celui des Neuf Chapitres, suivie d’un développement long et complexe, dont la nature précise continue de faire débat parmi les experts. Plusieurs y voient cependant des éléments de justification de la procédure comparables, bien que sensiblement différents à celui présenté plus haut : partant de la même configuration de deux carrés adjacents, le texte prescrirait de pivoter les deux triangles rectangles non contenus dans le carré oblique, pour compléter ce carré.

De fait, cette figure de l’hypoténuse est très explicitement évoquée par Liu Hui plus loin dans le chapitre. Dans son commentaire suivant le problème (9.11), il justifie en effet géométriquement la procédure de ce dernier : La multiplication de 1 zhang [l’hypoténuse dans (9.11)] par lui-même fait 4 surfaces vermillon et une surface jaune. Ces couleurs, vermillon et jaune, correspondent précisément à celles employées pour la figure de l’hypoténuse dans les commentaires de Zhao Shuang au Zhoubi Suanjing, et la suite du commentaire de Lui Hui ne laisse aucune ambiguïté sur le fait que c’est bien à cette même figure qu’il fait appel dans sa justification.
Cet article revient plus amplement sur l’usage que Liu Hui fait de cette figure pour justifier la procédure du problème (9.11).

Selon Karine Chemla, l’explication la plus vraisemblable à ces très fortes similarités dans les deux commentaires de Liu Hui et Zhao Shuang, n’est pas que l’un aurait eu connaissances des travaux de l’autre, mais plus vraisemblablement que l’un et l’autre auraient hérité « de traditions communes anciennes de commentaires » qui ne nous sont pas parvenues.

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