Le neuvième et dernier chapitre du Classique s’intitule Gougu, contraction des termes Gou, qui signifie base, et Gu, la hauteur. Ce chapitre est en effet consacré au triangle rectangle et, pour une large part, à l’identité de Pythagore. Les similitudes des triangles (rectangle, en l’occurrence), à travers la notion de lü, tiennent aussi un rôle central dans ce chapitre.

Le chapitre 9 est composé de 24 problèmes. Les trois premiers sont donnés en préambule de la procédure du Gougu. Il s’agit, étant données deux valeurs parmi base, hauteur et hypoténuse dans un triangle rectangle, d’en déterminer la troisième. La procédure du Gougu débute alors ainsi :

BASE (GOU) ET HAUTEUR (GU) ÉTANT CHACUNE MULTIPLIÉE PAR ELLE-MÊME, ON SOMME LES RÉSULTATS ET ON DIVISE CECI PAR EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE, CE QUI DONNE L’HYPOTÉNUSE.

Le commentaire de Liu Hui suivant immédiatement est très succinct, et semble justifier la procédure en s’appuyant sur une figure dont les contours ne se précisent que plus tard dans le chapitre : cet article est consacré à la justification de la procédure.

Les deux problèmes suivants (9.4) et (9.5) sont des variations des deux premiers, où le triangle rectangle considéré est incarné dans des situations concrètes, en l’occurrence une section de rondin de bois et une plante grimpante s’enroulant autour d’un arbre.

Parmi les 19 problèmes qui forment le reste du chapitre, on distingue deux grands groupes.
Le premier est constitué des problèmes (9.6) à (9.12), ainsi que le dernier problème (9.24) ; ils reposent centralement sur l’identité de Pythagore, et s’articulent autour des deux « Figures Fondamentales » du Gougu, illustrées ci-dessous. Elles sont utilisées très ingénieusement par Liu Hui dans ses commentaires : cet article donne un aperçu des problèmes utilisant la première figure fondamentale, tandis que ceux reposant sur la seconde sont abordés dans cet article.

Le second groupe est constitué des problèmes (9.13) à (9.23), et invoque les similitudes des triangles ; ces problèmes nous amènent sur le terrain des mesures de distances à partir de visées, un aspect que le sous-titre du chapitre, pour traiter le haut et le profond, le large et le lointain, met en exergue. Cet article présente comment les similitudes des triangles sont employées dans ce second groupe de problèmes. Si ce dernier est quasiment exclusivement composé de problèmes de visée, on y trouve aussi deux situations purement géométriques ; il s’agit des problèmes (9.14) et (9.15), qui proposent de déterminer les dimensions d’un carré et d’un cercle inscrit dans un triangle rectangle donné. Liu Hui en propose plusieurs traitements, en termes de découpages et en termes de similitudes, qui sont présentés dans ces deux articles sur le carré et le cercle inscrit, respectivement.
On trouve également, à travers les commentaires de Liu Hui sur le problème (9.19), les premiers éléments de résolution d’équations quadratiques en langue Chinoise.

Notons que le positionnement du problème (9.24) au sein du chapitre, qui semble peu naturel au vu du découpage présenté ici, est encore aujourd’hui largement sujet à discussions.

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